Hyperbolic Manifolds and Holomorphic Mappings: An Introduction (Second Edition) by Shoshichi Kobayashi (PDF)

Description

The first edition of this influential book, published in 1970, opened up a completely new field of invariant metrics and hyperbolic manifolds. The large number of papers on the topics covered by the book written since its appearance led Mathematical Reviews to create two new subsections “invariant metrics and pseudo-distances” and “hyperbolic complex manifolds” within the section “holomorphic mappings”. The invariant distance introduced in the first edition is now called the “Kobayashi distance”, and the hyperbolicity in the sense of this book is called the “Kobayashi hyperbolicity” to distinguish it from other hyperbolicities. This book continues to serve as the best introduction to hyperbolic complex analysis and geometry and is easily accessible to students since very little is assumed. The new edition adds comments on the most recent developments in the field.

User’s Reviews

Editorial Reviews: Review .,.” a fine introduction to hyperbolic complex analysis at a very elementary level.?

Reviews from Amazon users which were colected at the time this book was published on the website:

⭐ok

⭐本書は小林擬距離や小林双曲性の概念の創始者である小林昭七先生が1970年に著された有名なモノグラフである。本書を教科書としてこれらの概念を学び、この理論の素晴らしさを認識された方も多かったのではないかと思う。初版から半世紀近く経過しているが、この分野を学びたい方々への最良の入門書であることに変わりはない。全9章からなる本書は大きく三つの部分で構成されている。最初の三つの章で本論への準備として、空間の距離や体積を縮小する正則写像の興味深い例が提示されている。続く三つの章が本論であり、まず単位円板のポアンカレ距離をもとにして、複素多様体M上に小林擬距離とカラテオドリ擬距離が導入され、「これらの擬距離で正則写像が縮小写像になる」という重要な性質が確立されている。小林擬距離が距離関数となる場合、その複素多様体は「小林双曲的」と呼ばれ、小林双曲的多様体への正則写像が本書の主題である。例えば、「小林擬距離が自明（恒等的にゼロ）である複素多様体Xから小林双曲的多様体Yへの任意の正則写像f:X→Yは定値写像である」ことが直ぐに分かる。この典型的な例として「整関数f:C→C-{a,b}は定数関数である」というピカールの小定理が挙げられている。本書で特徴的なのは、ピカールの大定理の一般化を小林双曲的多様体への正則写像の拡張定理という観点から詳しく解説している所にある。Kwackの1969年の論文に注目し、正則写像の美しい拡張定理（本書第VI章定理6.1、定理6.2）として叙述された小林先生の先見性に感銘を受ける。しかもこの拡張定理の条件が後に「双曲的埋め込み」の定義に転用されたことを知れば、「大家はやはり目の付け処が違う」と言うことを再認識させられる。後半の三つの章では、擬距離と正則写像の解析空間への拡張、双曲的多様体と極小モデルとの関係、その他の話題（小林擬体積形式と測度双曲性、未解決問題など）が述べられている。ここでは解析空間やコンパクトケーラー多様体が極小モデルや相対的極小モデルになる為の幾つかの十分条件が述べられており、複素幾何が好きな方は非常に興味深く面白いと感じられると思う。また、未解決問題の中に、n次元複素射影空間Pn(C)の次数dの一般の超曲面Xに対し、「dが大きければ（例えば、d≧2n-1ならば）Xは小林双曲的である？」、「dがd≧2n+1ならば、補空間Pn(C)-XはPn(C)に双曲的に埋め込まれている？」という、この分野の研究の大きな指針となった「小林予想」が述べられている。本書（第2版）を読んで印象に残ったことを感想として述べてみたい。小林先生はこの分野の研究の初期段階で、解説論文（Bull. AMS 82, 1976）を書かれている。これは1970年代前半までの研究成果の素晴らしいサーベイであり、高次元ネヴァンリンナ理論の除外指数関係式との関係やタイヒミュラー空間上のタイヒミュラー距離が小林双曲距離に一致するというR.L.ロイデンによる結果などにも触れられており、最後に多くの興味深い問題が提示されている。この論文はネットからダウンロードできるので、本書と併せてぜひ一読されることをお薦めしたい。双曲性（小林双曲計量）とベルグマン計量との間の類似関係が面白いと思う。その定義からカラテオドリ距離や小林双曲距離がベルグマン距離の類似（親類）であり、双正則写像で不変であることは明白であるが、例えば複素数空間の有界領域Dがこれらの距離で完備である場合、何れの距離でもDは正則領域（正則凸=擬凸）であるという事実から、完備性が正則領域論やスタイン多様体論と関わることが分かり非常に興味深い（本書第IV章定理3.6、第V章定理3.4。ベルグマン距離に関するDの完備性が正則領域を意味するという結果は、ブレメルマンによる良く知られた定理である）。本書を読むと、小林擬距離や小林双曲性の概念が提示された1967年の論文から僅か3年ほどの間に、この分野の研究が急速に進展している状況が分かり、小林先生が考案されたこれらの概念とその理論の素晴らしさ・有用性に、如何に多くの研究者が注目したか窺い知ることができる。1変数複素解析の邦書の教科書にも、本書の影響を受け、C-{0,1}の小林双曲性に基づきピカールの大定理を証明するものが出現している（例えば、笠原乾吉『複素解析 1変数解析関数 (ちくま学芸文庫)

⭐』、野口潤次郎『複素解析概論 (数学選書)

⭐』、など）。微分幾何と複素幾何の大家小林昭七先生は分かり易い教科書をたくさん著されている。本書はその中の一冊であり、この分野への最良の入門書ともいえる名著であるので、複素幾何に興味を持つ方々にぜひお薦めしたい。

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