Introduction to Tropical Geometry (Graduate Studies in Mathematics) (Graduate Studies in Mathematics, 161) by Diane Maclagan (PDF)

Description

Tropical geometry is a combinatorial shadow of algebraic geometry, offering new polyhedral tools to compute invariants of algebraic varieties. It is based on tropical algebra, where the sum of two numbers is their minimum and the product is their sum. This turns polynomials into piecewise-linear functions, and their zero sets into polyhedral complexes. These tropical varieties retain a surprising amount of information about their classical counterparts. Tropical geometry is a young subject that has undergone a rapid development since the beginning of the 21st century. While establishing itself as an area in its own right, deep connections have been made to many branches of pure and applied mathematics. This book offers a self-contained introduction to tropical geometry, suitable as a course text for beginning graduate students. Proofs are provided for the main results, such as the Fundamental Theorem and the Structure Theorem. Numerous examples and explicit computations illustrate the main concepts. Each of the six chapters concludes with problems that will help the readers to practice their tropical skills, and to gain access to the research literature.

User’s Reviews

Editorial Reviews: Review This wonderful book will appeal to students and researchers of all stripes: it begins at an undergraduate level and ends with deep connections to toric varieties, compactifications, and degenerations. In between, the authors provide the first complete proofs in book form of many fundamental results in the subject. The pages are sprinkled with illuminating examples, applications, and exercises, and the writing is lucid and meticulous throughout. It is that rare kind of book which will be used equally as an introductory text by students and as a reference for experts. –Matt Baker, Georgia Institute of TechnologyTropical geometry is an exciting new field, which requires tools from various parts of mathematics and has connections with many areas. A short definition is given by Maclagan and Sturmfels: “Tropical geometry is a marriage between algebraic and polyhedral geometry”. This wonderful book is a pleasant and rewarding journey through different landscapes, inviting the readers from a day at a beach to the hills of modern algebraic geometry. The authors present building blocks, examples and exercises as well as recent results in tropical geometry, with ingredients from algebra, combinatorics, symbolic computation, polyhedral geometry and algebraic geometry. The volume will appeal both to beginning graduate students willing to enter the field and to researchers, including experts. –Alicia Dickenstein, University of Buenos Aires, Argentina About the Author Diane Maclagan , University of Warwick, Coventry, United Kingdom. Bernd Sturmfels , University of California, Berkeley, CA, USA.

Reviews from Amazon users which were colected at the time this book was published on the website:

⭐The book is a carefully written, comprehensive introduction to the area. It is also a great reference. There is no other book on tropical geometry that covers all the facets of this area.

⭐Das Buch “Introduction to Tropical Geometry” ist eine hervorragende Einführung in die tropische Geometrie: Zunächst werden die Grundlagen sowie die Arithmetik der tropischen Geometrie erläutert. Von diesem Urlaub auf der tropischen Insel (Einführungskapitel) arbeitet sich der Leser/die Leserin sodann schrittweise über die torischen Varietäten, den tropischen Regenwald und den tropischen Garten zu den torischen Verbindungen (Schlusskapitel) vor.Vorteile:+ Das Buch stellt eine eigenständige und inhaltlich sehr gut konzeptionierte Einführung in die tropische Geometrie dar, in der erstmals die Beweise für viele grundlegende Resultate der tropischen Geometrie, wie bspw. den Fundamentalsatz und den Struktursatz, erbracht werden.+ Die didaktische Aufbereitung und Strukturierung des Buches ist ausgesprochen gut gelungen.+ Das Buch bietet einen sehr guten Überblick über die Bezüge der tropischen Geometrie zu anderen Teilgebieten der Mathematik und die innermathematischen Anwendungen.+ Ferner ist im Buch eine Vielzahl von Grafiken enthalten, die zur Veranschaulichung der Materie beitragen.+ Alle Kapitel enthalten eine große Vielfalt von Übungen (Beweise, Rechenbeispiele etc.), die das Verständnis für die tropische Geometrie schärfen.Nachteile:- Der erste kleine Minuspunkt, den ich bei diesem Buch sehe, ist die Tatsache, dass die zahlreichen spannenden Anwendungsbeispiele der tropischen Geometrie in der Informatik, der Betriebswirtschaftslehre, der Volkswirtschaftslehre, der Physik sowie der Biologie sehr kurz kommen und entsprechend auch die Liste der referenzierten Literatur zu den Anwendungsbeispielen extrem kurz ist. Gerade in einem einführenden Werk könnten Anwendungsbeispiele meiner Ansicht nach als hervorragende Motivation dienen.- Der zweite Minuspunkt besteht darin, dass zu den zahlreichen Übungen weder im Buch selbst noch auf der Webseite Lösungen verfügbar sind.Zielgruppe:Ich empfehle das Buch Lesern/Leserinnen mit (mindestens) soliden Kenntnissen im Bereich der algebraischen Strukturen. Kenntnisse der algebraischen Geometrie sind für die Lektüre dieses Buches nicht zwingend erforderlich, für ein (besseres) Verständnis der fortgeschrittenen Kapitel jedoch hilfreich und sehr empfehlenswert. Das Buch eignet sich sowohl für Bachelor- & Masterstudenten sowie Mathematiker/innen und Mathematikinteressierte mit Interesse an diesem relativ neuen und vielfältigen Gebiet der Mathematik.

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