Tata Lectures on Theta II: Jacobian theta functions and differential equations (Modern Birkhäuser Classics) by David Mumford (PDF)

Description

The second in a series of three volumes that survey the theory of theta functions, this volume emphasizes the special properties of the theta functions associated with compact Riemann surfaces and how they lead to solutions of the Korteweg-de-Vries equations as well as other non-linear differential equations of mathematical physics.It presents an explicit elementary construction of hyperelliptic Jacobian varieties and is a self-contained introduction to the theory of the Jacobians. It also ties together nineteenth-century discoveries due to Jacobi, Neumann, and Frobenius with recent discoveries of Gelfand, McKean, Moser, John Fay, and others.

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Editorial Reviews: From the Back Cover The second in a series of three volumes surveying the theory of theta functions, this volume gives emphasis to the special properties of the theta functions associated with compact Riemann surfaces and how they lead to solutions of the Korteweg-de-Vries equations as well as other non-linear differential equations of mathematical physics.This book presents an explicit elementary construction of hyperelliptic Jacobian varieties and is a self-contained introduction to the theory of the Jacobians. It also ties together nineteenth-century discoveries due to Jacobi, Neumann, and Frobenius with recent discoveries of Gelfand, McKean, Moser, John Fay, and others.A definitive body of information and research on the subject of theta functions, this volume will be a useful addition to individual and mathematics research libraries.

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⭐マンフォードによる「テータ関数講義」の第２巻であり、閉リーマン面のヤコビ多様体に付随するテータ関数の理論が詳しく解説されている。本書の前半は、超楕円曲線（の周期行列）に付随するテータ関数の特徴付け（分岐点の部分集合がある条件を満たす事とそれから導かれる指標を持つテータ関数のテータ零値の消滅性とが同値であるという性質）を確立する事が目標になっている。ここでは、超楕円曲線のヤコビ多様体の多項式による局所表示、C.ノイマンによる力学系、J.モーザーによる可積分系など具体的な計算に基づいて導入された概念が、この特徴付けに極めて重要な役割を果たしている事が見て取れると思う。本書の最大のハイライトは、この特徴付けの証明を完成させている§9と超楕円型のp関数（及びその導関数）によりヤコビ多様体の埋め込みが可能である事を主張する§10（特に定理10.3及び10.6）の素晴らしい証明にあると思う。本書の後半では、フェイの３点割線（Trisecant）等式とそのソリトン方程式（KP方程式、KdVやサインゴルドン方程式）への応用が解説されており、著者のこの方面への深い学識はさすがである。本書の最後に、「代数方程式の解の公式がテータ零値に関するトーマの公式を活用して求められる」という梅村先生の寄稿が載せられている。マンフォードの古典への深い学識と数式計算のおける腕力は素晴らしく、その美しい構成と相俟って、とても素敵な本に仕上がっている。本書を一読された方は、「この本は凄い。素晴らしい」という私の感想に賛同して下さるのではないかと思う。第１巻とあわせて、数学愛好家に断然オススメしたい講義録である。

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