Lectures on Lie Groups (Midway Reprints Series) by J. F. Adams (PDF)

Description

“[Lectures in Lie Groups] fulfills its aim admirably and should be a useful reference for any mathematician who would like to learn the basic results for compact Lie groups. . . . The book is a well written basic text [and Adams] has done a service to the mathematical community.”—Irving Kaplansky

User’s Reviews

Reviews from Amazon users which were colected at the time this book was published on the website:

⭐The book arrived promptly and the condition is as described.

⭐Adams has an expositional style that is fluently false. However, if you are willing to decipher what he is saying, it gives you a truly deep understanding of the foundations of the area.

⭐Easy to follow and good approach with a geometrical vision.

⭐This is an accurate and well-organized treatise on Lie groups. It is not written in a way that makes it particularly friendly as a tutorial, and other books on the subject certainly devote more attention to imparting geometric intuition. Important topics about Lie groups are developed in some generality, and there is an appealing lack of haste in introducing Lie algebras. The author’s slant as an algebraic topologist shows through in many places, giving some perspectives and insights that are not typically brought forth in treatments of this subject by authors whose research expertise is in differential geometry. The book assumes a level of sophistication usually associated with graduate study in core mathematics, including point-set topology and algebra at a minimum.

⭐This is an excellent short and straightforward introduction to the theory of Lie groups and their representations from a geometer’s viewpoint. It covers the essential concepts to understand the structure of compact Lie groups (the exponential map, maximal tori, Stiefel diagrams) and their representations (linear algebra, real and quaternionic representations, roots and weights). The style of the book is of lecture notes-type hence the book rather should be considered as the first step to understand the basic concepts in their clearest an simplest form. The technical subtleties in the proofs then can be filled in later from other more detailed (however necessary much longer) books on Lie groups.

⭐I bought this book on a recommendation, but I wish I hadn’t. I tried to use it for an advanced graduate course in Lie groups, but it was not suitable. The books is essentially a list of theorems, with little or no discussion and few examples. At points there seem to be typos in it, or at least lack of clarity.It is alright as a reference book, but no one should have to use it to learn about Lie groups.

⭐Reçu en très bon état

⭐Not found.

⭐既に優れたレビューが寄せられているので，ここでは評者の個人的な随想を記したいと思う．評者は15年程前に L.Smolin のループ量子重力論を学び始めた際，E.Witten のFields賞論文に感銘を受け，それを理解するためにコンパクトリー群の初歩を自らの手でノートにまとめ，いきなりV.G.Kac の「無限次元リー環」から読了するというトンデモナイ経緯を経て，この分野に入っていった．・もう一つの重要な鍵「Fierz 恒等式」は，Kauffman の Topics in combinatorial knot theory に見いだせる． 当時は「Knots and Functional Integration」という“手描き” のノートで 50Mb の Download Journey であった．その後，G.Lisi の E8 統一場と C.Furey による SU3の８元数表現 を結び付けたい，という動機から [Ye] 横田一郎 例外型単純リー群 [Yc] 横田一郎 古典型単純リー群 [Ae] J.F.Adams Lectures on Exceptional Lie Groupsを経て，やっと本書に逢着した．今，第７章を読み終えたが，まさしく たいそう興味深い 本であった．１まず，3.6 の cr = 1+t（実制限の複素化 = 共役表現との和）があまりにも サックリ と示されているが， [Y] 横田一郎「群と表現」 の 命題 2.21 で中身を確認できる．（ a = α + iβ の α は左右を保ち，β が入れ替わる．“実”テンソル に留意されよ. ）２次に Peter – Weyl の定理は，有界作用素（最も簡単な Fredholm 型）のスペクトル定理に サラリ と帰着されるので，関数解析の易しい本（評者の手元には 洲之内治男 がある. ）をお手元に．３また，極大トーラスが互いに共役となることの証明を Lefshetz の 不動点定理 へ アッサリ と帰着するあたり，Adams のトポロジストとしての一面を垣間見れる．（証明中程に微笑ましいミスタイプ p : × → m : ○ がある. ）評者はこの定理を Gauss-Bonnet と Poincare-Hopf 経由で理解している ( 森田茂之「微分形式の幾何学」§§ 5.6, 5.7 & 6.2 ).P-H はフルトンの本に鮮やかな証明があり，G-Bもガウス球面写像の写像度で示すのが最も簡明なのだが，河野俊丈「曲面の幾何構造とモジュライ」等から間接的に読み取れるものしか現時点では見当たらない。この２つが結びつくと上記の定理の意味は明白である．もっとも，生粋のトポロジー屋はこのような回り道をせず直接 交差理論 から導くのだろう．例えば，ギルマン・ポラック を片手に ボット・トゥー の演習問題を解けば良い．２,３については，小林・大島に “抜け道” も記されているので読み比べると面白い．４ワイル群 ＝ Aut T（T：極大トーラス）の簡素な定義から，Ur = { t ∈ T｜θr(t)：整数 }（θr：表現 r のルート）を起爆剤に，ワイル鏡映が眼前に拡がる様は圧巻である．（同時に [Y]の序文 と [Yc]の後書き をかみしめるが……. ）我々物理屋は，通常 昇降 (生成・消滅) 演算子 を介してこれに親しむので，衝撃であった．数学屋は 佐竹一郎「リー環の話」あたりであろうか．ディンキン図がまさにリー群のDNAであることを見せつけられる．・ルートの表し方には，種々の流儀がある．例えばSU3のルート x1-x2 は物理の本ではルートベクトル (1,-1,0)：(x1,x2,x3) → x1-x2 に対応する．数学屋の記法も下記 [L] (2.2) のように使うと効果的である．続いては，Ur から導かれる アフィンワイル群 Γ を駆使して，クリフォード代数なし で スピン群 を特定するAdams らしい妙技が冴え渡り，ワイルベクトル β がスピン群のウェイトであることを導いて，指標公式への方向性がはっきりと示される．５6.4 で，(i) の e1 が存在しなければ (ii) のケースであることに留意すれば，第６章は ワイル積分公式 を皮切りに，たたみかけるように 指標公式 6.33 (i) へ雪崩れ込む怒涛の展開である．評者がこの公式の香気に初めて触れたのは，ワイル「群論と量子力学」であった．(２度めは V.G.Kac.)6.31 の induction はおそらく6.32 を先に確かめておいてから，6.30 の文脈にそって A(ω_i＋β) に読み替えれば通る．第７章は，「講義時間が足りず……」やや 脱兎の如し の感があるが，我々は幸い [Yc] 定理1.7, 命題3.8 により 7.6 と 7.7 を具体的に読み解ける．g ∈ Sp(n) ⊂ U(2n) [ ⊂ SO(4n) ] は，対角化 ( p.170の c’D ) を通じてg^-1と共役変換で結ばれるが (∃J g^-1 = JgJ^-1),SO(4n+2) ⊃ SU(2n+1) では既に n = 0 で 反例が生じる．7.7 SO(2n) の (i)(ii)(iii) ではこうして，λ^n = λ_+^n + λ_-^n を示唆するくだりが視点を変えて記されるが，慌てず p.175 まで読み進めば [Y] 命題4.65 が提示され，程なくして 古典群の表現環 全て を決定し幕を閉じる．本書を読了された方には、続けて [Ae] を一読される事を是非お薦めしたい。・ただし，1 Click Button には手を触れないように！ DjVu を手軽に入手できるから， 廉価版が出るまで待つ方が賢明である．[Ae] のレビューに初学者用の本もいくつかあげておいた．追記Haar 測度 は，瀟洒な本書ゆえ当然丸投げされる．島和久「連続群とその表現」に記載があったと思うが，残念ながら手元にない． [Y] には，“小粋な抜け道” が記されている．本書にはこれで十分である．物理屋には，行列群の Maurer – Cartan 形式 (小林・大島 §3.2(d)) に馴染めば事足りるであろう．最近，全ての例外群が巨大次元の行列群に明示的に埋め込まれた．S.L.Cacciatori「A Simple E8 Construction」（ [L] G.Lisi「An Exceptionally Simple Theory of Everything」の References からその足跡を辿るとよい. )上掲論文の最後に I.Yokota の名を見出すとき，全ては一つに繋がり，私は必然的にここへ導かれたことを悟る．この観点に立てば，コンパクトリー群に関する限り M-C 形式 のみで真に事足りる．

⭐Not found.

⭐コンパクト・リー群の表現論は、代数、幾何、解析の各分野が交錯する現代数学の美しい古典である。本書は多様体とリー群の定義から説き始めて、この主題に関する深い結果まで簡潔に紹介する。本書のどこがユニークで素晴らしいのか、以下に述べてみたい。リー群の表現の同型類は直和とテンソル積により可換半環をなすので、その普遍環である表現環を決定する事は非常に重要である。この目標に向け必要最小限の基礎知識を解説しつつ、読者を表現環の構造に関する二つの主定理まで一気に導いてくれるのが、本書のユニークで素晴らしい所である。ここで二つの主定理とは、「コンパクト連結リー群Gの複素表現環K(G)は、Gの極大トーラスTの複素表現環K(T)でワイル群w（=W(G)）の作用で不変なものK(T)wと同型である」（定理6.20）と「更にGが単連結な場合、K(G)は多項式環Z[ρ1,･･･,ρk]（kはGの階数）と同型である」（定理6.41）を意味する。コンパクト・リー群の表現論を勉強した事がある方には、ルート系、極大トーラスTの正則点と特異点、ワイル群によるTの軌道分解、などが密接に関係する事は良く知られていると思うが、本書ではそれらが実に簡潔に分かり易く解説されている。ルート毎に（そのルートが整数値をとるTの部分集合として）定義されるTのリー部分群Urが活躍する様子を読者は目の当たりにする事が出来るだろう。更に、アフィンワイル群とワイル群との関係の考察から、「Gの基本群がUnit Lattice Iとその平行移動の部分群Γ0による商群I/Γ0と同型である」事が示され、上記の主定理でGが単連結な場合の条件が明確に理解できる事に感心させられる。基礎的なところでも、「リー群の閉部分群がリー群である」事の証明、Peter-Weylの定理の証明、極大トーラスの共役性に関する定理の証明などは経験者にも参考になると思う。リー群の表現論を勉強するには、本書のような一般論だけでなく、古典群や例外群の表現に関わる具体論を詳しく知ることも重要である。この方面では具体例が豊富な横田一郎『群と表現』が個性的な良書として強く薦められる。また、Cartan-Weylの最高ウェイト理論の基礎知識があると、本書の理解が更に深まるだろう。邦書では小林・大島共著『リー群と表現論』がその解説を含む教科書として薦められる。本書を知ったのは『群と表現』のあとがきに本書が推薦されていたことによる。横田先生はそこで「HusemollerのFibre Bundlesと本書以外に古典群の複素表現環について書かれた参考文献を知らない」と述べられている。この事情は今日でもそれほど変わっていないだろう。本書はトポロジーの二つの有名な難問を鮮やかに解決した（Husemollerの本にその解説がある！）高名なトポロジストJ. F. Adamsならではの好著であり、リー群論に興味をもつ全ての方にお薦めしたい。

⭐Not found.

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