Stein Manifolds and Holomorphic Mappings: The Homotopy Principle in Complex Analysis (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge / A Series of Modern Surveys in Mathematics, 56) by Franc Forstnerič (PDF)

Description

This book, now in a carefully revised second edition, provides an up-to-date account of Oka theory, including the classical Oka-Grauert theory and the wide array of applications to the geometry of Stein manifolds.Oka theory is the field of complex analysis dealing with global problems on Stein manifolds which admit analytic solutions in the absence of topological obstructions. The exposition in the present volume focuses on the notion of an Oka manifold introduced by the author in 2009. It explores connections with elliptic complex geometry initiated by Gromov in 1989, with the Andersén-Lempert theory of holomorphic automorphisms of complex Euclidean spaces and of Stein manifolds with the density property, and with topological methods such as homotopy theory and the Seiberg-Witten theory.Researchers and graduate students interested in the homotopy principle in complex analysis will find this book particularly useful. It is currently the only work that offers a comprehensive introduction to both the Oka theory and the theory of holomorphic automorphisms of complex Euclidean spaces and of other complex manifolds with large automorphism groups.

User’s Reviews

Editorial Reviews: About the Author Franc Forstneric has published more than a hundred research and survey papers in complex analysis and geometry, including several in leading mathematical journals such as the Annals of Math., Acta Math., Inventiones Math., Duke Math. J., J. Eur. Math. Soc., Amer. J. Math., and others.He held long term teaching and research positions at theUniversity of Wisconsin-Madison (Madison, USA),Centre for Advanced Study (Oslo, Norway),Institut Mittag-Leffler (Stockholm, Sweden),Max Planck Institute (Bonn, Germany),as well as visiting positions at more than ten other institutions. He was an invited speaker at over a hundred international conferences and workshops.Since 2000 he is a Professor of Mathematics at the University of Ljubljana and is a member of the Academy of Sciences and Arts of the Republic of Slovenia.

Reviews from Amazon users which were colected at the time this book was published on the website:

⭐Amazing book! I am just blown away by all of the revelations in here.

⭐リーマンの写像定理の高次元化のプレプリントを友人に見て貰っているひまに、前から読もうと思っていた頭書に目を通したんです。この人は私と同じく、多変数関数を扱うより多変数写像を扱って、多くの論文を書いているんです。私は多変数写像の広い意味で値分布的なことを今までやってきて、どちらかというと、概双曲的なケースを扱っているんですが、この人は先ずスタイン多様体で言えることをベクトルバンドルに一般化させるということ（それは今のところ私は関心があまりありません）と、岡多様体といって、大体放物的な多様体を定義して色々やってはります。多様体は大体概双曲的だと思うのですが、多変数函数論がＣ＾ｎの領域で最初考えられたように、放物型の多様体を考えることも大いに大事と思います。 スタイン多様体は２次元でもＣ＾２の不分岐リーマン域とはなりません。武内章の反例（１９８０）があります。ｎ次元スタイン空間はＣ＾ｎの分岐リーマン域になります（グラウエルトの古典的結果）ので、それでいいじゃないかと言うきがするのですが、まあ予想としてｎ次元スタイン多様体はＰ＾ｎの不分岐リーマン域になるだろうと思っています。不分岐域と考えられるというのは、別の言葉で言うとはめ込み(immersion)が存在するということですが、この人は埋め込みやはめ込みにも興味を持っているらしく、８章に色々書いています。私は補助的手段としてそれらは必要と思っていますが、今のところ細かいことまでは関心がありません。上に述べた予想はきれいし、肯定的に解ければ岡ー藤田礼子の不分岐域の理論が結局スタイン多様体の理論と同値になるので、時期が来たら解きたいとは思いますが、中心問題ではありません。 私が多変数関数論を勉強して岡潔の論文の’Wまでを４回生から院になる間の春休みに読んで、最初にこれは問題として残っているな、と思ったのがルンゲの問題です。関数の問題ですが、今でもやり残された一連の問題として解きたい（どう解くかが問題）とおもっており、今投稿中ですがスタイン空間内の強い意味での正規域は元の空間とルンゲである（まあいうと多項式凸状）という論文を書いています。それからSchur stable setも２次元以上なら多項式凸状であろうと思っています。１次元の場合は連結成分は単連結ですしね。でも私は写像男ですから、大分以前から研究仲間に写像のルンゲの問題は問題じゃないか、と聞いて反応を見たのですが、反応無し。しかしこの著者は大いに興味を持っているようですね。論文も幾つか書いているようですし、先述の岡多様体はそう言う観点が定義自体に入っています。 私の多変数解析学の構想の参考にはなりましたが、まだ大したことは出来ていないな、というのが第一印象です。しかし結構賑やかになっているな、というのが第二印象です。私としては多変数函数論の範囲で残されている問題を取り敢えずやらんといかんなと思った次第です。

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